Trapezium maydoni: formulalar va hisoblash usullari

Mundarija:

Trapezium maydoni: formulalar va hisoblash usullari
Trapezium maydoni: formulalar va hisoblash usullari
Anonim

Geometriya darslarida o'zingizni ishonchli his qilish va muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun formulalarni o'rganishning o'zi kifoya qilmaydi. Ularni birinchi navbatda tushunish kerak. Qo'rqish va undan ham ko'proq formulalardan nafratlanish samarasizdir. Ushbu maqolada trapezoidning maydonini topishning turli usullari mavjud tilda tahlil qilinadi. Tegishli qoidalar va teoremalarni yaxshiroq o'zlashtirish uchun biz uning xususiyatlariga biroz e'tibor qaratamiz. Bu sizga qoidalar qanday ishlashini va qanday hollarda ma'lum formulalar qo'llanilishi kerakligini tushunishga yordam beradi.

Trapezoidni aniqlang

trapezoid maydoni
trapezoid maydoni

Umuman olganda bu qanday raqam? Trapezoid to'rt burchakli va ikkita parallel tomoni bo'lgan ko'pburchakdir. Trapetsiyaning qolgan ikki tomoni turli burchaklarda egilishi mumkin. Uning parallel tomonlari asoslar deb ataladi va parallel bo'lmagan tomonlar uchun "tomonlar" yoki "kalçalar" nomi ishlatiladi. Bunday raqamlar kundalik hayotda juda keng tarqalgan. Trapezoidning konturlarini kiyim-kechak, interyer buyumlari, mebellar, idish-tovoqlar va boshqalarning siluetlarida ko'rish mumkin. Trapezoid turli xil bo'lishi mumkin: ko'p qirrali, isosseller va to'rtburchaklar. Ularning turlari va xususiyatlarini keyinroq maqolada batafsil tahlil qilamiz.

Trapezoid xususiyatlari

trapezoidning maydoni qancha
trapezoidning maydoni qancha

Bu raqamning xususiyatlariga qisqacha toʻxtalib oʻtamiz. Har qanday tomonga ulashgan burchaklar yig'indisi har doim 180 ° ga teng. Shuni ta'kidlash kerakki, trapetsiyaning barcha burchaklari 360 ° ga teng. Trapezoidda o'rta chiziq tushunchasi mavjud. Agar siz tomonlarning o'rta nuqtalarini segment bilan bog'lasangiz, bu o'rta chiziq bo'ladi. U m bilan belgilanadi. O'rta chiziq muhim xususiyatlarga ega: u har doim asoslarga parallel (biz eslaymizki, asoslar ham bir-biriga parallel) va ularning yarim yig'indisiga teng:

m=(a+b)/2.

Bu ta'rifni o'rganish va tushunish kerak, chunki u ko'p muammolarni hal qilishning kalitidir!

Trapezoidda siz har doim balandlikni poydevorga tushirishingiz mumkin. Balandlik perpendikulyar bo'lib, ko'pincha h belgisi bilan belgilanadi, u bir asosning istalgan nuqtasidan boshqa asosga yoki uning kengaytmasiga tushiriladi. O'rta chiziq va balandlik trapezoidning maydonini topishga yordam beradi. Bunday topshiriqlar maktab geometriya kursida eng keng tarqalgan bo'lib, ular muntazam ravishda nazorat va imtihon ishlarida uchraydi.

Trapezoid maydoni uchun eng oddiy formulalar

trapezoid maydoni
trapezoid maydoni

Trapezoidning maydonini topishga yordam beradigan ikkita eng mashhur va oddiy formulalarni tahlil qilaylik. Siz izlayotgan narsani osongina topish uchun balandlikni asoslar yig'indisining yarmiga ko'paytirish kifoya:

S=h(a + b)/2.

Bu formulada a, b trapetsiya asoslarini, h - balandligini bildiradi. O'qish qulayligi uchun ushbu maqolada ko'paytirish belgilari formulalarda () belgisi bilan belgilanadi, garchi rasmiy ma'lumotnomalarda ko'paytirish belgisi odatda olib tashlansa.

Bir misolni ko'rib chiqaylik.

Berilgan: Ikkita asosi 10 sm va 14 sm va balandligi 7 sm bo'lgan trapetsiya. Trapetsiyaning maydoni qancha?

Ushbu muammoning yechimini tahlil qilaylik. Ushbu formuladan foydalanib, siz avval asoslarning yarim yig'indisini topishingiz kerak: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Demak, yarim yig'indi 12 sm. Endi biz yarim yig'indini balandlikka ko'paytiramiz: 127 \u003d 84. Kerakli topildi. Javob: Trapetsiyaning maydoni 84 kvadrat metrni tashkil qiladi. qarang

Ikkinchi mashhur formulada aytilishicha: trapetsiyaning maydoni o'rta chiziq va trapetsiya balandligining mahsulotiga teng. Ya'ni, aslida o'rta chiziqning oldingi kontseptsiyasidan kelib chiqadi: S=mh.

trapezoid maydoni
trapezoid maydoni

Hisoblashda diagonallardan foydalanish

Trapezoid maydonini topishning yana bir usuli aslida unchalik qiyin emas. Bu uning diagonallari bilan bog'langan. Ushbu formulaga ko'ra, maydonni topish uchun uning diagonallarining yarim mahsulotini (d1 d2) sinusiga ko'paytirish kerak. ular orasidagi burchak:

S=½ d1 d2 sin a.

Ushbu usulning qoʻllanilishini koʻrsatadigan masalani koʻrib chiqamiz. Berilgan: diagonal uzunligi mos ravishda 8 va 13 sm bo'lgan trapetsiya. Diagonallar orasidagi burchak a 30°. Trapetsiya maydonini toping.

Qaror. Yuqoridagi formuladan foydalanib, kerakli narsani hisoblash oson. Ma'lumki, sin 30° 0,5 ga teng. Demak, S=8130,5=52. Javob: Maydoni 52 kvadrat metr. qarang

Tek yon tomonli trapetsiya maydoni qidirilmoqda

Trapezoid teng yon tomonli boʻlishi mumkin. Uning tomonlari bir xil va poydevoridagi burchaklar teng, bu rasmda yaxshi ko'rsatilgan. Teng yonli trapezoid oddiy trapetsiya bilan bir xil xususiyatlarga ega, shuningdek, bir qator maxsus xususiyatlarga ega. Aylana teng yonli trapesiya atrofida chizilgan bo'lishi mumkin va uning ichiga doira chizilgan bo'lishi mumkin.

trapetsiya maydonini toping
trapetsiya maydonini toping

Bunday raqamning maydonini hisoblash usullari qanday? Quyidagi usul juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi. Uni ishlatish uchun siz trapezoidning tagidagi burchakning sinus (sin) va kosinus (cos) qiymatlarini bilishingiz kerak. Ularning hisob-kitoblari uchun Bradis jadvallari yoki muhandislik kalkulyatori kerak bo'ladi. Bu formula:

S=c sin a (a – c cos a), bu erda c - sonning yon tomoni, a - pastki poydevordagi burchak.

Teng yon tomonli trapetsiyaning diagonallari bir xil uzunlikka ega. Buning teskarisi ham to'g'ri: agar trapezoidning diagonallari teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi. Shunday qilib, trapezoidning maydonini topishga yordam beradigan quyidagi formula - diagonallar kvadratining yarim mahsuloti va ular orasidagi burchak sinusi: S=½ d2gunoh a.

Toʻgʻri burchakli trapetsiyaning maydonini toping

trapezoid maydoni
trapezoid maydoni

To'g'ri to'rtburchak trapetsiyaning alohida holati mavjud. Bu trapezoid bo'lib, uning bir tomoni (uning soni) asoslarga to'g'ri burchak ostida ulanadi. U oddiy trapezoidning xususiyatlariga ega. Bundan tashqari, u juda qiziqarli xususiyatga ega. Bunday trapetsiyaning diagonallari kvadratlarining farqi uning asoslari kvadratlarining farqiga teng. Buning uchun maydonni hisoblashning avval berilgan barcha usullari qo'llaniladi.

Zukkoligingizdan foydalaning

Muayyan formulalarni unutishda yordam beradigan bitta hiyla bor. Keling, trapezoid nima ekanligini batafsil ko'rib chiqaylik. Agar biz uni aqliy ravishda qismlarga ajratsak, unda biz tanish va tushunarli geometrik shakllarni olamiz: kvadrat yoki to'rtburchaklar va uchburchaklar (bir yoki ikkita). Agar siz trapezoidning balandligi va tomonlarini bilsangiz, siz uchburchak va to'rtburchaklar maydoni uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin va keyin barcha olingan qiymatlarni qo'shishingiz mumkin.

Buni quyidagi misol bilan tushuntiramiz. To'rtburchak trapezoid berilgan. Burchak C=45 °, A, D burchaklari 90 °. Trapetsiyaning yuqori poydevori 20 sm, balandligi 16 sm. Rasmning maydonini hisoblash uchun talab qilinadi.

Qaror

Bu raqam toʻrtburchak (agar ikkita burchak 90° boʻlsa) va uchburchakdan iboratligi aniq. Trapetsiya to'rtburchak bo'lgani uchun, shuning uchun uning balandligi uning tomoniga teng, ya'ni 16 sm. Bizda tomonlari mos ravishda 20 va 16 sm bo'lgan to'rtburchaklar mavjud. Endi burchagi 45 ° bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqing. Biz bilamizki, uning bir tomoni 16 sm. Bu tomon ham trapetsiyaning balandligi bo'lgani uchun (va biz bilamizki, balandlik asosga to'g'ri burchak ostida tushadi), shuning uchun uchburchakning ikkinchi burchagi 90 ° dir. Demak, uchburchakning qolgan burchagi 45° ga teng. Buning natijasida biz ikki tomoni bir xil bo'lgan to'g'ri burchakli teng yonli uchburchakni olamiz. Bu uchburchakning boshqa tomoni balandligi, ya'ni 16 sm ga teng ekanligini anglatadi. Uchburchak va to'rtburchakning maydonini hisoblash va olingan qiymatlarni qo'shish qoladi.

Toʻgʻri burchakli uchburchakning maydoni uning oyoqlari koʻpaytmasining yarmiga teng: S=(1616)/2=128. Toʻrtburchakning maydoni koʻpaytmasiga teng. uning kengligi va uzunligi: S=2016=320. Biz kerakli narsani topdik: trapezoidning maydoni S=128 + 320=448 kv. qarang. Yuqoridagi formulalar yordamida oʻzingizni osongina ikki marta tekshirishingiz mumkin, javob bir xil boʻladi.

Pak formulasidan foydalaning

trapezoid maydoni
trapezoid maydoni

Nihoyat, trapetsiya maydonini topishga yordam beradigan yana bir original formula. U Pick formulasi deb ataladi. Trapezoid shashka qog'ozga chizilganda uni ishlatish qulay. Shunga o'xshash vazifalar ko'pincha GIA materiallarida uchraydi. Bu shunday ko'rinadi:

S=M/2 + N – 1, ushbu formulada M - tugunlar soni, ya'ni. figuraning chiziqlari bilan trapezoid chegaralaridagi katak chiziqlari (rasmdagi to'q sariq nuqta), N - rasm ichidagi tugunlar soni (ko'k nuqta). Noto'g'ri ko'pburchakning maydonini topishda undan foydalanish eng qulaydir. Biroq, ishlatiladigan texnikalar arsenali qanchalik ko'p bo'lsa, xatolar shunchalik kam bo'ladi va natijalar yaxshi bo'ladi.

Albatta, yuqoridagi ma'lumotlar trapetsiyaning turlari va xossalarini, shuningdek, uning maydonini topish yo'llarini to'ldirishdan yiroq. Ushbu maqola uning eng muhim xususiyatlari haqida umumiy ma'lumot beradi. Geometrik masalalarni yechishda bosqichma-bosqich harakat qilish, oson formulalar va masalalardan boshlash, tushunishni izchil mustahkamlash, murakkablikning boshqa darajasiga o‘tish muhim ahamiyatga ega.

Birlashtirilgan eng keng tarqalgan formulalar oʻquvchilarga trapetsiya maydonini hisoblashning turli usullarini oʻrganishga va ushbu mavzu boʻyicha test va testlarga yaxshiroq tayyorlanishga yordam beradi.

Tavsiya: